4. 기하변환2(동차좌표ver)

이전 포스팅에서 N차원까지 확장이 가능한 점의이동, 크기변환, 회전이동 기하변환에 대해서 다뤘습니다.

 

이때, N차원은 N개의 Element를 갖는 데카르트 좌표계를 사용했습니다.

 

기억하실지 모르겠지만, 기하변환에 사용되는 "동차 좌표"가 있다고 과거 포스팅에서 언급했습니다.

teus-kiwiee.tistory.com/42

1. 점과 선

3차원 좌표의 데카르트, 동차 좌표계 표기

지난번 포스트에서 3개의 기하변환을 다뤘고, 점의 이동은 Vector(Matrix)의 덧셈을 통해서 구했습니다.

데카르트 좌표계를 사용했을 경우, 2차원 좌표계의 기하 변환

 

이때 동차좌표계를 사용하면서 얻을 수 있는 장점은, 기하변환을 모두 행렬의 곱으로 표현이 가능하단 것 입니다.

동차좌표로 표현된 2차원 기하 변환

하나의 연산만으로 정리가 가능하면, GPU 같은 하드웨어의 설계를 오로지 Matrix 행렬곱을 구하는데 비중을 높이거나 

 

프로그래밍 코드가 훨신 간결해 질 수가 있습니다.

 

뿐만 아니라, 기본적인 3개의 기하변환 외 특수한 기하변환 모두 행렬곱으로 표현이 가능해집니다 :)

(특수한 기하변환은 다음시간에 다룹니다)

 

Python으로 구현한 기하변환 ver 동차좌표 입니다

import math
class geo_trans:
    def __init__(self, DT_list):
        #동차좌표를 적용하기 위해서 마지막에 1을 더해줍니다.
        self.data = DT_list + [1]
        
    #특별한 축을 입력하지 않을 경우
    #회전 평면은 [0,1] = [x,y]입니다.
    def oper(self, sort, degree, axis = [0,1]):
        #원본 좌표에 곱한 행렬을 구하기 위한 Frame을 준비합니다.
        mul_mat = [[0 for i in range(len(self.data))] for j in range(len(self.data))]            
        #원본 point와 동일한 Dimension을 갖는 Vector Frame을 준비합니다.
        temp_result = [0 for i in range(len(self.data))]
        #대각선 행렬을 1로 초기화해줍니다.
        i = 0
        while True:
            mul_mat[i][i] = 1
            i = i+1
            if i==len(mul_mat):
                break
        if sort == "move":
            #기존에는 move를 행렬의 덧셈으로 구했지만
            #이제는 동일하게 곱해줄 행렬을 구해줍니다.            
            for i in range(len(mul_mat)-1):
                mul_mat[i][len(mul_mat)-1] = degree[i]
        elif sort == "mag":            
            #크기변환 Mat을 만들기 위해서 대각선행렬에
            #크기변환 정도만큼의 값을 치환해줍니다.
            i = 0
            while True:
                mul_mat[i][i] = degree[i]
                i = i + 1
                if i==len(mul_mat)-1:
                    break                                         
        elif sort == "rot":                        
            degree = degree/180*math.pi
            #일반적인 2차원 좌표계의 Case(↑y+, →x+)
            if axis[0]<axis[1]:
                mul_mat[axis[0]][axis[0]] = math.cos(degree)
                mul_mat[axis[0]][axis[1]] = -math.sin(degree)
                mul_mat[axis[1]][axis[0]] = math.sin(degree)
                mul_mat[axis[1]][axis[1]] = math.cos(degree)
            #일반적인 2차원 좌표계에서 x가 reverse된 Case(↑y+, →x-)
            elif axis[0]>axis[1]:
                mul_mat[axis[1]][axis[1]] = math.cos(degree)
                mul_mat[axis[1]][axis[0]] = -math.sin(degree)
                mul_mat[axis[0]][axis[1]] = math.sin(degree)
                mul_mat[axis[0]][axis[0]] = math.cos(degree)
        #위 과정에서 결과물로 mul_mat만 구하고, 나머지는 행렬곱으로 동일합니다.
        #때문에 코드가 간결해집니다.
        #matrix 곱연산을 통해서 크기변환 결과를 구합니다.
        for i in range(len(mul_mat)):
            temp = 0
            for j in range(len(mul_mat)):                
                temp = temp + mul_mat[i][j]*self.data[j]                                
            temp_result[i] = temp
        return temp_result
        
import random
test_dt = [random.randint(1, 100) for i in range(10)]
#ex. [46,50,64,23,29,90,100,65,50,14]
#=> 요럴경우 동차좌표는 [45,50,64,23,29,90,100,65,50,14,1] 이 됩니다.
test = geo_trans(test_dt)

test.oper("move",[15,9,6,1,3,5,6,7,9,19])
Out[32]: [61, 59, 70, 24, 32, 95, 106, 71, 59, 33, 1]

test.oper("mag",[1,9,6,8,3,5,6,7,9,19])
Out[30]: [46, 450, 384, 184, 87, 450, 600, 448, 450, 266, 1]

test.oper("rot",145,[6,9])
Out[31]: [46, 50, 64, 23, 29, 90, -89.94527453781383, 64, 50, 45.889515015058706, 1]